含参量积分的微分

在复习高数的时候对一道对积分的求导有些困惑。想起来之前用到过费曼积分法，但抛开技巧来谈，底层的原理还是要温习一下的，于是写了这篇博客留档。

问题

$f(x) = \int_{1}^{x^2} (x^2 - t)e^{-t^2}\mathrm{d}t$, 求 $f’(x)$

解法

$\color{red}{以下是错误解法}$

一看就是个变上限积分，
令

$$h(x,t) = (x^2 - t)e^{-t^2}$$ $$\begin{align} f'(x) &= h(x,x^2) \frac{\mathrm{d} x^2}{\mathrm{d}x} + h(x,1) \frac{\mathrm{d} 1}{\mathrm{d}x} \\ &= 0 \end{align}$$

好像哪里不太对

$\color{red}{原因}$

之前能用变上限积分的式子都是如下形式

$$\int_{1}^{\sqrt{x}} \sin{t^2} \mathrm{d} t$$

可以看到被积函数是不含有参数x的，x只改变了积分的上限
但题目$f(x) = \int_{1}^{x^2} (x^2 - t)e^{-t^2}\mathrm{d}t$ 中 $x$ 在被积函数中，可以直接改变 $f$ 的值，（相对于上式通过 $\sqrt{x}$ 间接改变 $f$ 的值）所以用多元函数的写法来看

$$\begin{align} & f(x,\psi(x),\phi(x)) = \int_{\psi(x)=1}^{\phi(x)=x^2} (x^2 - t)e^{-t^2}\mathrm{d}t \\ & f(\psi(x),\phi(x)) = \int_{\psi(x)=1}^{\phi(x)=\sqrt{x}} \sin{t^2} \mathrm{d} t \end{align}$$

用更一般的写法：

$$f(x,\psi(x),\phi(x)) = \int_{\psi(x)}^{\phi(x)} h(x,t) \mathrm{d}t$$

使用全微分

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d} f(x,\psi(x),\phi(x))}{\mathrm{d} x} &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \psi}\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} \\ &= \int_{\psi(x)}^{\phi(x)} \frac{\partial h}{\partial x} \mathrm{d} t + h(x,\psi)\frac{\partial \psi}{\partial x} + h(x,\phi)\frac{\partial \phi}{\partial x} \end{align}$$

得到含参量积分的微分公式

$\color{red}{正确解法}$

令

$$h(x,t) = (x^2 - t)e^{-t^2}$$ $$\begin{align} f'(x) &= \int_{1}^{x^2} \frac{\partial h}{\partial x}\mathrm{d} t + h(x,x^2) \frac{\mathrm{d} x^2}{\mathrm{d}x} + h(x,1) \frac{\mathrm{d} 1}{\mathrm{d}x} \\ &= 2x \int_{1}^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{d} t \end{align}$$

总结

高数中类似这种看一遍忘一遍的点还是挺多的，经常在复习题中超前出现，比如这个多元函数微分学的内容就出现在了一元函数微分学的题目中，在考研一轮复习的背景下还是很容易被打个猝不及防。如果大一的时候有随手留档的习惯就好了。