指数形式的傅立叶变换

在信号与系统中傅立叶变换是一个绕不开的问题，本文介绍了傅立叶变换的指数形式，希望能加深对它的理解

复平面

如何表示平面中的一个点呢。我们都学过 $ (2,3) $ 表示平面上往 $x$ 方向偏移 $2$ 个单位长度，往 $y$ 方向偏移 $3$ 个单位长度，就对应 $\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=3 \end{matrix}\right.$ 这个点。

$x$ 方向的单位向量，记为 $\vec{i}$, $y$ 方向的单位向量，记为 $\vec{j}$,是这个平面的基，这样一个向量就可以用这两个基来表示：

$$\vec{v} = a\cdot\vec{i} + b\cdot\vec{j}$$

我们如果把基替换一下，使用 $1$ 和 $i$ 这两个数，

$$z = a \cdot 1 + b \cdot i$$

就可以用一个复数表示平面上的点，这个以 $1$ 和 $i$ 为基的平面，称为复平面。
实平面上的代数结构也可以原封不动的套用到复平面上。

欧拉公式

欧拉公式指出

$$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$$

这个公式可以由三角函数的级数展开证明，详情可以看jRONI的知乎文章。

图一：图片原作者：Gunther

如图所示，利用欧拉公式，可以把一个数映射到复平面上的一个点，比如 $\phi$ 可以映射到 $(\cos{\phi},\sin{\phi})$ ,而反过来也可以把 $\cos{\phi}$ 和 $sin{\phi}$ 合起来用一个 $e^{i\phi}$ 来表示，这个特性将在下面用到。

傅立叶级数的指数形式

函数利用傅立叶变换可以展开成如下形式

$$f(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(k{\color{Tan} \omega_1} ) + b_k \sin(k{\color{Tan} \omega_1} )$$

将 $\cos()$ 和 $\sin()$ 项合并

$$\begin{align} f(x) & = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\color{Red} a_k} \cos(k{\color{Tan} \omega_1} ) + {\color{Blue} b_k} \sin(k{\color{Tan} \omega_1} ) \\ &= \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} \sqrt{ {\color{Red} a_k }^2 + {\color{Blue} b_k}^2 }\cos(k{\color{Tan} \omega_1} + \arctan(-\frac{\color{Blue}b_k}{\color{Red}a_k} ) ) \\ &= \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\color{Purple} A_{km} } \cos(k{\color{Tan} \omega_1} + {\color{Violet} \phi_k} ) \end{align}$$

图二：A_km, a_k, b_k 和 ϕ_k 的关系

反向利用欧拉公式，可以凑出

$$\begin{align} f(x) & = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\color {Purple} A_{km} } \cos(k{\color{Tan} \omega_1} + {\color{Violet} \phi_k} )\\ & = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {\color{Purple} A_{km} } (e^{j(kw_1t+{\color{Violet}\phi_k)} }+e^{-j(k{\color{Tan} \omega_1}t+{\color{Violet} \phi_k})}) \\ & = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{2} {\color{Purple} A_{km} } e^{\color{Violet} \phi_k}e^{jk{\color{Tan} \omega_1}t} + \frac{1}{2}{\color{Purple} A_{km} } e^{-\color{Violet} \phi_k}e^{-jk{\color{Tan} \omega_1}t}) \\ & = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} ({\color{Orange} c_k} e^{jk{\color{Tan} \omega_1}t} + {\color{Orange} c^*_k} e^{-jk{\color{Tan} \omega_1}t}) \end{align}$$

通过以上过程可以得出

• ${\color{Purple} A_{km} }$ 表示展开后各项（各个频率）对应的幅值
• ${\color{Violet} \phi_k}$ 表示了以 $\cos(0)$ 为基准的相位
• $e^{jk{\color{Tan} \omega_1}t}$ 可以表示 以 $\cos(0)$ 为基准，逆时针为正方向旋转的向量，$e^{-jk{\color{Tan} \omega_1}t}$则相反，是往顺时针为正方向旋转的向量。${\color{Orange} c_k}$ 和 ${\color{Orange} c^{*}_k}$ 则表示向量向其对应正方向偏移的角度，以及对应幅值的信息。
  下面讲如何得出各项系数
  由图二可以很容易得出 $\left\{\begin{matrix} {\color{Purple} A_{km} }\cos(\phi_k)={\color{Red}a_k},\\ {\color{Purple} A_{km} }\sin(\phi_k)=-{\color{Blue}b_k} \end{matrix}\right.$
  所以 $${\color{Purple} A_{km} } e^{\color{Violet} \phi_k} = {\color{Purple} A_{km} }(\cos(\phi_k)+i\sin(\phi_k)) = {\color{Red}a_k} -i{\color{Blue}b_k}$$

接着套用三角函数形式中得出 $a_k$ 和 $b_k$ 的公式。

$$\begin{align} {\color{Orange} c_k} &= \frac{1}{2}{\color{Purple} A_{km} }e^{ {\color{Violet} \phi_k} } \\ &= \frac{1}{2}({\color{Red} a_k} - i{\color{Blue}b_k }) \\ &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t)\cos(k{\color{Tan} \omega_1}t)\mathrm{d}t -i\frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t)\sin(k{\color{Tan} \omega_1}t)\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t)[\cos(k{\color{Tan} \omega_1}t) - i\sin(k{\color{Tan} \omega_1}t)] \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t) e^{-jk{\color{Tan} \omega_1} }\mathrm{d}t \end{align}$$

同理可求得

$${\color{Orange} c^*_k} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t) e^{jk{\color{Tan} \omega_1} }\mathrm{d}t$$

若令 $k \to -k$ 则 ${\color{Orange}c^*_k} \to {\color{Orange}c_k}$
则

$$\begin{align} f(x) &= \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} ({\color{Orange} c_k} e^{jk{\color{Tan} \omega_1}t} + {\color{Orange} c^*_k} e^{-jk{\color{Tan} \omega_1}t}) \\ &= \sum_{k = -\infty}^{\infty} {\color{Orange} c_k} e^{jk{\color{Tan} \omega_1}t} \end{align}$$

最终形式

$$\left\{\begin{matrix} {\color{Orange} c_k} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t) e^{-jk{\color{Tan} \omega_1} }\mathrm{d}t \\\\ f(x) =\sum_{k = -\infty}^{\infty} {\color{Orange} c_k} e^{jk{\color{Tan} \omega_1}t} \end{matrix}\right.$$

例子

图三：一个函数实例

现在给出一个函数 $y=x$ ,周期为 2. 经过计算可以得到 $$ c_k = \frac{1}{2}A_{km}e^{j\phi_k} = \frac{i}{k\pi}e^{ik\pi} = \frac{i(-1)^k}{k\pi} $$ 可以看出这是一个复数,包含了幅值和初相位的信息，取 $c_k$ 的模 $|c_k|$ 作为每个频率分量的幅值，$c_k$ 的幅角 $\phi_k$为每个频率分量的初相位。 可以画出其幅度谱和相位谱，

图四：幅度谱

图五：相位谱

如果要做单边的幅度谱，只需把图四中的纵坐标改为 $A_{km}$ ，然后每条谱线改为原来的两倍，（$ A_{km} = 2 |c_k|$）。单边相位谱只保留 $x$ 正半轴部分。